Abbildungen aus der Vorlesung Theoretische Physik 1


Abbildungen zur 1., "philosophischen" Vorlesung:
Alle Abbildungen, mit Erklärungen, sind in dieser Datei gesammelt.

Gekoppelte Oszillatoren
(1) Schwache Kopplung (Schwebung): Bild 1 .
(2) Identische Federn: Bild 2 .
(3) Starke Kopplung: Bild 3 .

Einfluss der Gezeitenkräfte
Die Gezeiten induzieren innere Reibung, die die Rotation von Himmelskörpern verlangsamt. Das führt dazu, dass viele leichtere Körper dem Körper, um den sie "kreisen", immer die gleiche Seite zuwenden. Dies gilt z.B. für unseren Mond und die Erde (deshalb z.B. das bekannte Pink Floyd Album "The Dark Side of the Moon", wobei die "dunkle Seite" tatsächlich die von der Erde abgewandte Seite ist, die natürlich auch nicht immer dunkel ist); für Merkur und die Sonne, und für den hier gezeigten Saturnmond Enceladus und den Saturn. Enceladus gilt als weissester Körper in unserem Sonnensystem (d.h. er hat das höchste Albedo, reflektiert am besten). Er ist von frischem Eis umhüllt.
Das Eis ist frisch, weil, wie hier gezeigt, "Geysire" Wasser von Enceladus ins Weltall spucken, das dann sehr rasch gefriert. Ein Grossteil fällt auf Enceladus zurück, und sorgt dafür, dass die Eishülle "neu" und "sauber" aussieht. Enceladus enthält flüssiges Wasser nur durch die Reibung der Gezeitenkräfte, wobei die relevanten Gezeiten durch die anderen Monde des Saturns verursacht werden. (Da Enceladus immer die selbe Seite dem Saturn zuwendet, verursacht der Saturn keine dynamischen Gezeiten mehr auf Enceladus, und trägt deshalb auch nicht zur Erwärmung durch Reibung bei.)
Im Juni 2023 wurde gezeigt, dass die von Enceladus abgeschiedenen Eispartikel neben Kohlenwasserstoffen auch Phosphor enthalten. Somit scheinen alle notwendigen Bestandteile für die Existenz (erdähnlichen) Lebens auf diesem Saturnmond gegeben! Ähnliche Ozeane unter Eis existieren auch auf einigen Jupitermonden; auch dort sorgt innere Reibung durch Gezeiten dafür, dass das Wasser flüssig bleibt.

Simuliertes Sonnensystem mit 1 oder 2 Planeten
(1) 1 Planet : Dieses System kann analytisch behandelt werden, wie in der Vorlesung gezeigt. Die Bahnen sind geschlossen. Dies dient als Test des numerischen Programms zur Integration der Bewegungsgleichungen.
(2) 2 Planeten : Nun wurde ein 2., leichterer Planet auf einer elliptischen, engeren Umlaufbahn hinzugefügt. Die Bahn dieses Planeten ist erkennbar nicht geschlossen. Wichtigster Effekt ist eine Rotation der Ellipse, oft als Perihelion-Verschiebung bezeichnet. In unserem Sonnensystem führt insbesondere der Einfluss des Jupiter zu einer Perihelion-Verschiebung des Merkurs. Die leichte Abweichung zwischen Messung und Vorhersage war bereits um 1900 ein Problem. 1915 konnte Einstein dieses Problem in seiner allgemeinen Relativitästheorie lösen -- ein erster wichtiger Erfolg dieser revolutionären Theorie, der auf einem genauen Verständnis der Newton'schen Theorie aufbaut.
(3) Geschwindigkeit des Zentralgestirns entlang der x-Achse. Die Geschwindigkeit entlang der Sichtachse kann spektroskopisch (durch die Doppler-Verschiebung der Wellenlängen) sehr genau gemessen werden. Eine (mehr oder weniger) periodische Änderung dieser Geschwindigkeit, wie hier für die obigen Systeme mit einem oder zwei Planeten gezeigt, wird zum Nachweis von extra-solaren Planeten benutzt. Aufgrund solcher Messungen geht man mittlerweise davon aus, dass ein sehr hoher Prozentsatz aller Sterne unserer Milchstrasse (und somit vermutlich auch in anderen Galaxien) von Planeten umgeben ist.

Simulierter Sternenhaufen mit 9 Körpern
(1) Planare Anfangsbedingungen: Alle Bahnen liegen in einer Ebene. (Die Drehimpulserhaltung impliziert, dass dies immer so bleibt, wenn alle Orte und Geschwindigkeiten zu einem Zeitpunkt in einer Ebene liegen.) Der schwerste Stern (m=2, schwarz) bildet ein sehr eng gebundenes Doppelsternsystem mit einem Stern mit m=1 (grün). Dies setzt so viel kinetische Energie frei, dass das System praktisch "explodiert".
(2) Zoom des inneren Bereichs: Man sieht, wie die schwarzen Symbole (m=2) einem Satz von grünen Symbolen (m=1) sehr nahe kommen und ein enges Paar bilden.
(3) Danach habe ich die Körper in allen drei Dimensionen verteilt. Zunächst habe ich die Anfangsbedingungen der 4 schweren Körper so gewählt, dass sie ein (über den Zeitraum der Simulation) stabiles System bilden, dann habe ich die 5 leichten Körper hinzugefügt. Die 1. Abbildung dieser Serie zeigt die Bewegung (in der (x,y) Ebene) des schwersten Körpers. Der zeitliche Abstand zwischen zwei Symbolen ist konstant, d.h. ein grösserer Abstand bedeutet eine höhere Geschwindigkeit. In der 2. Abbildung sind die drei Körper mit m=1 ebenfalls abgebildet. Das System bleibt in der Tat gebunden, die Bahnen sind aber sehr kompliziert.
In der 3. Abbildung sind die 5 leichten Körper ebenfalls aufgenommen. Wir sehen, dass vier von ihnen rasch "abdampfen", d.h. entkommen. In einem Vielkörpersystem nähert sich die mittlere kinetische Energie einer Konstante; das führt dazu, dass leichte Körper die Fluchtgeschwindigkeit erreichen, wie z.B. Wasserstoffmoleküle auf der Erde (weshalb unsere Atmosphäre praktisch keine solche Moleküe enthält).
Die 4. Abbildung zeigt das Verhältnis von mittlerer kinetischer and potenzieller Energie, sowie das Verhältnis der Mittelwerte, für das 3-dimensionalen Systems. In der schwarzen und grünen Kurve sind alle 9 Körper berücksichtigt, in der roten und blauen Kurve nur solche mit negativer Gesamtenergie (die an das System gebunden sind). Das System aus den 4 schweren Körpern "virialisiert" recht schnell, d.h. das gezeigte Verhältnis pendelt um -0.25, wie im zeitlichen Mittel für ein 1/r Potenzial zu erwarten. Das gemittelte Verhältnis (schwarz, rot) hängt aber stark davon ab, ob nur gebundene Körper berücksichtigt werden.
Die (spektographisch abschätzbare) kinetische Energie der Sterne kann deshalb zur Bestimmung der Masse des Systems benutzt werden. Analoge Untersuchungen grösserer Systeme (Galaxien und Haufen von Galaxien) zeigen, dass sie mehr unsichtbare, 'dunkle' Materie enthalten als bekannte 'baryonische' Materie, die Sterne oder Gas bildet.

Millenium-Simulation der Galaxienbildung (Ausschnitt mit 1.5 Mio. Teilchen)
Simuliert wurde die Bewegung der Teilchen der Dunklen Materie unter ihrer wechselseitigen gravitationellen Anziehung. Die Anfangsbedingungen sind aus der Theorie des inflationären Unversums abgeleitet, aber die weitere Entwicklung folgt dem Newton'schen Gravitationsgesetz. Da (Haufen von) Galaxien hauptsächlich aus Dunkler Materie bestehen, sollte die Verteilung der Dunklen Materie in etwa der Verteilung sichtbarer Galaxien entsprechen. Die Simulation zeigt die Entstehung eines Galaxienhaufens aus einer anfänglich fast gleichförmigen Verteilung der Teilchen der Dunklen Materie.
(1) 2.1 108 Jahre nach Urknall
(2) 109 Jahre nach Urknall
(3) 4.7 109 Jahre nach Urknall
(4) Jetzt (1.4 1010 Jahre nach Urknall)

Das mathematische Pendel
(1) Phasendiagram des mathematischen Pendels. Für kleine maximale Auslenkung θ0 entspricht dies einem harmomischen Oszillator, das Phasendiagramm ist ein Kreis (bei geeigneter Skalierung der Achsen). Für grosse Auslenkung weicht das Phasendiagram deutlich von einem Kreis ab, kann aber immer noch exakt analytisch berechnet werden.
(2) Exakte (numerische) und approximative (analytische) Ergebnisse für die Periode
(3) Relative Abweichungen der Entwicklungen für die Periode vom exakten Ergebnis

Störungstheoretische Behandlung für V(x) = k x2/2 + λ*m*x3/3
(1) Vergleich exakter Lösung mit Näherung 0. und 1. Ordnung für kleine Zeiten
(2) Abweichung der 1. Näherung von der exakten Lösung für kleine Zeiten
(3) Abweichung für grosse Zeiten: Die Differenz sieht aus wie eine Schwebung, d.h. die Periode der exakten Lösung unterscheidet sich etwas von der der 1. Näherung (die ihrerseits gleich der der 0. Näherung ist).
(4) Abweichung der 1. Näherung von der exakten Lösung als Funktion von λ. Man sieht, dass die Abweichung (zunächst) wie das Quadrat von λ skaliert (gepunktete Kurven). Die Näherung bricht aber für grosse Zeiten zusammen, auch für kleine λ.
(5) Vergleich exakter Lösung mit Näherung 0., 1. und 2. Ordnung für kleine Zeiten. Offensichtlich ist die exakte Frequenz in 2. Näherung recht gut approximiert. Eine Abweichung bleibt aber, d.h. auch die 2. Näherung wird bei sehr grossen Zeiten stark von der exakten Lösung abweichen.
Die exakte Lösung ist jeweils durch direkte Integration der Bewegungslgleichung mittels der Runge-Kutta Methode berechnet. Die Näherungslösungen wurden in der Vorlesung diskutiert.

Störungstheoretische Behandlung für V(x) = k x2/2 + λ*m*x4/4
(1) Vergleich exakter Lösung mit Näherungslösung 0. und 1. Ordnung, ohne Dämpfung
(2) Vergleich exakter Lösung mit Näherungslösung 0. und 1. Ordnung, mit Dämpfung ; die rote Kurve schliesst eine zusätzliche Phase ein.
(3) Zeitlicher Abstand zweier aufeinander folgender Nullstellen der exakten Lösung . Der Abstand geht asymptotisch gegen den Wert für den linearen Fall, da die Amplitude immer kleiner wird.

Gedämpfter, angetriebener anharmonischer Oszillator (Lösung der Duffing-Gleichung)
(1) Differenz zwischen exakter Lösung und Näherungslösung 0. und 1. Ordnung; die Amplitude der Lösung beträgt ca. 0.16. Die volle 1. Ordnung Näherung, einschliesslich modifizerter Phase und cos(3 ω t) Term, funktioniert offensichtlich am besten.
(2) Differenz zwischen exakter Lösung und Näherungslösung 0. und 1. Ordnung; die Amplitude der exakten Lösung beträgt ca. 0.5, d.h. der nichtlineare Term ist ca. 10 mal wichtiger als in der 1. Abbildung. Die auf Entwicklung in Fourier-Komponenten beruhende ('modifizierte') Entwicklung funktioniert noch gut, die direkte Entwicklung in epsilon hingegen nicht mehr.
(3) Vergleich der exakten maximalen Amplitude mit der Näherungslösung in modifizierter nullter Ordnung (nur der cos(ω*t) Term wird berücksichtigt). Für ω zwischen 1.4 und 1.65 existieren mehrere Lösungen, wobei die mittlere nicht stabil ist. In diesem Bereich führt ein Frequenzdurchlauf zu mechanischer Hysterese, d.h. selbst bei grossen Zeiten hängt die Lösung von den Anfangsbedingungen ab. Bei kleineren Frequenzen sieht man die Amplitude des cos(3 ω t) Terms, der in der Näherungslösung nicht berücksichtigt wurde.
(4) Vergleich der exakten maximalen Amplitude mit der Näherungslösung in modifizierter nullter Ordnung (nur der cos(ω t) Term wird berücksichtigt). Für diese stärkere treibende Kraft gibt es Mehrfachlösungen über einen grösseren Bereich von ω. Zusätzlich zu Amplituden, die zu Termen proportional to cos(3 ω t), cos(5 ω t) usw. gehören sieht man bei ω nahe 1 nun auch eine Amplitude zu einem Term cos(2 ω t).
(5) Existenz von Mehrfachlösungen in modifizierter 0. Ordnung. Diese treten zwischen den Kurven auf. Dabei hägt das maximale ω deutlich vom Däpfungskoeffizienten gamma ab, das minimale ω aber kaum. Der Bereich wird offenbar für stärkere treibende Kraft grösser und verschiebt sich zu grösseren Frequenzen.
(6) Vergleich der exakten Lösung und Näherungslösung 0. und modifizierter 1. Ordnung, wobei die Entwicklung in Fourier-Komponenten benutzt wurde (0. Ordnung ist aber nach wie vor nur die Lösung der linearen Gleichung). f ist hier knapp unter dem Beginn des chaotischen Regimes. Die Amplitude wird noch recht gut reproduziert, nicht aber der genaue zeitliche Verlauf.
(7) Vergleich der exakten Lösung und Näherungslösung 0. und modifizierter 1. Ordnung, wobei die Entwicklung in Fourier-Komponenten benutzt wurde (0. Ordnung ist aber nach wie vor nur die Lösung der linearen Gleichung). Für dieses f tritt bereits chaotisches Verhalten auf, allerdings für kleinere ω. Aber auch hier unterscheiden sich die Lösungen für leicht unterschiedliche Anfangsbedingungen [x(0) = 0 oder 0.1] deutlich auch bei späten Zeiten. Die Amplitude wird dennoch recht gut reproduziert, der genaue zeitliche Verlauf allerdings nicht mehr.
(8) Vergleich der exakten Lösung und Entwicklungen in t, wobei die Entwicklung in Potenzen von t bis zu verschiedenen Ordnungen durchgeführt wurde. Der erste Beitrag O(f2) tritt in der Ordnung t6 auf; da er mit x(0) multipliziert wird, das hier als 0.1 gewählt wurde, ist dieser Term klein. Der erste Beitrag O(f3) tritt in der Ordnung t8 auf. Bereits die O(t4) Ordnung reproduziert das exakte Ergebnis recht gut für t ≤ 0.6; dort ist x(t) = 3, d.h. man ist bereits tief im nichtlinearen Bereich.
(9) Vergleich der exakten Lösung und Entwicklungen in t, wobei die Entwicklung in Potenzen von t bis zu verschiedenen Ordnungen durchgeführt wurde. Hier wurde x(0) = 2 gewählt. Der erste Beitrag O(x(0) f2), der in der Ordnung t6 auftritt, ist deshalb viel grösser als in der vorigen Abbilding, für x(0) = 0.1. Bereits die O(t4) Ordnung reproduziert das exakte Ergebnis recht gut für t ≤ 0.6; dort ist x(t) = 3, d.h. man ist bereits tief im nichtlinearen Bereich. Die O(t8) Ordnung reproduziert nun sogar das Verhalten um das erste Maximum; die vorige Abbildung zeigt aber, dass das nicht immer gilt.

Duffing Oszillator: Übergang zum Chaos
(1) Kleine Kraft (kein Chaos): Bild 1 .
(2) Grosse Kraft (kein echtes Chaos): Bild 2 .
(3) Sensitivität zu den Anfangsbedingungen Bild 3 .

Alle folgenden Abbildungen in diesem Abschnitt sind nach Abklingen des Einschwingens erstellt, d.h. für grosse Zeiten.

(4) Kurve im Phasenraum für f = 3, ω = 1.45. Die Bewegung ist periodisch mit Periode 1, d.h. nach einer Perdiode der treibenden Kraft erreicht das System wieder den selben Zustand (die selben Werte von x und v). Die Kurve ist spiegelsymmetrisch um den Ursprung; dies reflektiert die Symmetrie der Duffing-Gleichung unter x → -x und ω t → ω t + π.
(5) Kurve im Phasenraum für f = 3, ω = 1.00. Die Bewegung ist periodisch mit Periode 1, d.h. nach einer Perdiode der treibenden Kraft erreicht das System wieder den selben Zustand (die selben Werte von x und v). Die Kurve ist aber nicht mehr spiegelsymmetrisch um den Ursprung. Offenbar treten hier Beiträge auf, die mit geradzahligen Vielfachen der Periode der treibenden Kraft schwingen; diese Terme ändern ihr Vorzeichen nicht, wenn ω t → ω t + π. S. auch Abb. 4 im vorigen Abschnitt.
(6) Kurve im Phasenraum für f = 20, ω = 1.45. Die Bewegung ist periodisch mit Periode 1, d.h. nach einer Perdiode der treibenden Kraft erreicht das System wieder den selben Zustand (die selben Werte von x und v). Die Spiegelsymmetrie um den Ursprung ist offenbar begrochen.
(7) Kurve im Phasenraum für f = 20, ω = 1.40. Die Bewegung ist periodisch mit Periode 2, d.h. das System erreicht den selben Zustand (die selben Werte von x und v) erst nach zwei Perioden der treibenden Kraft (Periodenverdopplung). Man beachte auch, dass -- im Unterschied zu abgeschlossenen Systemen -- sich die Phasenraumkurven überschneiden können, wenn die beiden Paare (x,v) zu verschiedenen Werten der treibenden Kraft, d.h. verschiedenen cos(ω t), gehören.
(8) Poincare Verschiebung für f = 20, als Funktion von ω. Die Poincare Verschiebung ist die Menge der Punkte x(t), wobei t so gewählt ist, dass die treibende Kraft eine feste Phase hat, d.h. cos(ω t) hat den selben Wert für alle abgebildeten Punkte. Man sieht multiple Lösungen für viele Werte von ω. Für 1.2 ≤ ω ≤ 1.4 sieht man auch zwei Bereiche mit Periodenverdoppelung (s. auch die vorige Abb.) Hier springt x(t) zwischen zwei Punkten hin und her, wenn t um eine Periode der treibenden Kraft vergrössert wird.
(9) Poincare Verschiebung für f = 25, als Funktion von ω. Hier sehen wir eine Kaskade von Periodenverdopplungen. Für ω ≤ 1.267 hat die Bahnkurve die Periode der treibenden Kraft. (Anders als in der vorigen Abbildung ist hier die Poincare Verschiebung nur für eine Anfangsbedingung gezeigt.) Danach verdoppelt sich die Periode mehrmals, in immer kürzeren Abständen von ω. Für ω ≥ 1.288 ist keinerlei Periode mehr sichtbar, das System ist nun chaotisch.
(10) Poincare Verschiebung für f = 25, als Funktion von ω mit ω ≥ 1.3. Man erkennt zwei chaotische Regime. (Die vertikalen Linien dazwischen sind vermutlich eine Folge numerischer Instabilitäten.) Bei ω ≥ 1.39 ist das System nicht mehr chaotisch, die Periode reduziert sich sukzessive wieder.
(11) Poincare Schnitt für f = 25, ω = 1.2902. Hier ist man im chaotischen Regime. Der Poincare Schnitt ist die Menge der Punkte im Phasenraum, hier x(t), v(t), bei fester Phase der treibenden Kraft, d.h. festem cos(ω t). Im chaotischen Regime bildet der Poincare Schnitt einen "seltsamen Attraktor" ("strange attractor"), dessen Hausdorff Dimension keine ganze Zahl ist (d.h. der Attraktor ist ein Fraktal): Der Attraktor füllt keinen Bereich der Ebene ganz aus, deckt aber mehr ab als eine Linie. Man beachte auch, dass der ganze Attraktor in einem relativ kleinen Intervall in x liegt, wobei der Bereich in v allerdings deutlich grösser ist.
(12) Ausschnitt des Poincare Schnittes für f = 25, ω = 1.2902. Dies ist ein Ausschnitt der vorigen Abbildung. Bei grösserer Auflösung sieht man, dass sich einzelne Linien in mehrere Linien aufspalten. Dies lässt sich im Prinzip beliebig oft wiederholen, wobei allerdings numerische Probleme ein maximale Auflösung festlegen.
(13) x(t=100) vs. x(0) für f = 25, ω = 1.5. Hier ist man nicht mehr im chaotischen Regime. x(0) springt zwischen mehreren Lösungen hin und her; über gewisse Bereiche von x(0) bleibt x(t=100) aber konstant.
(14) x(t=100) vs. x(0) für f = 25, ω = 1.2902. Hier ist man im chaotischen Regime. x(0) springt wild umher; die Anzahl der Lösungen für x(t=100) ist nicht begrenzt.
(15) x(t=100) vs. x(0) für f = 25, ω = 1.2902 und einen kleinen Bereich von x(0). Hier ist man im chaotischen Regime. x(0) springt selbst in diesem kleinen Bereich von x(0) wild herum. Die Abbildung ist qualitativ ähnlich wie die vorige. Diese Skaleninvarianz ist typisch für chaotische System.