Abbildungen aus der Vorlesung Theoretische Physik 1
Abbildungen zur 1., "philosophischen" Vorlesung:
Alle Abbildungen, mit Erklärungen, sind in
dieser Datei gesammelt.
Gekoppelte Oszillatoren
(1) Schwache Kopplung (Schwebung): Bild 1 .
(2) Identische Federn: Bild 2 .
(3) Starke Kopplung: Bild 3 .
Einfluss der Gezeitenkräfte
Die Gezeiten induzieren innere Reibung, die die Rotation von Himmelskörpern
verlangsamt. Das führt dazu, dass viele leichtere Körper dem
Körper, um den sie "kreisen", immer die gleiche Seite zuwenden. Dies
gilt z.B. für unseren Mond und die Erde (deshalb z.B. das bekannte Pink
Floyd Album "The Dark Side of the Moon", wobei die "dunkle Seite"
tatsächlich die von der Erde abgewandte Seite ist, die natürlich
auch nicht immer dunkel ist); für Merkur und die Sonne, und für
den hier gezeigten Saturnmond Enceladus und
den Saturn. Enceladus gilt als weissester Körper in unserem Sonnensystem
(d.h. er hat das höchste Albedo, reflektiert am besten). Er ist von
frischem Eis umhüllt.
Das Eis ist frisch, weil, wie
hier gezeigt, "Geysire" Wasser von
Enceladus ins Weltall spucken, das dann sehr rasch gefriert. Ein Grossteil
fällt auf Enceladus zurück, und sorgt dafür, dass die
Eishülle "neu" und "sauber" aussieht. Enceladus enthält flüssiges
Wasser nur durch die Reibung der Gezeitenkräfte, wobei die relevanten
Gezeiten durch die anderen Monde des Saturns verursacht werden. (Da Enceladus
immer die selbe Seite dem Saturn zuwendet, verursacht der Saturn keine
dynamischen Gezeiten mehr auf Enceladus, und trägt deshalb auch nicht
zur Erwärmung durch Reibung bei.)
Im Juni 2023 wurde gezeigt, dass die von Enceladus abgeschiedenen Eispartikel
neben Kohlenwasserstoffen auch Phosphor enthalten. Somit scheinen alle
notwendigen Bestandteile für die Existenz (erdähnlichen) Lebens
auf diesem Saturnmond gegeben! Ähnliche Ozeane unter Eis existieren auch
auf einigen Jupitermonden; auch dort sorgt innere Reibung durch Gezeiten
dafür, dass das Wasser flüssig bleibt.
Simuliertes Sonnensystem mit 1 oder 2 Planeten
(1) 1 Planet : Dieses System kann
analytisch behandelt werden, wie in der Vorlesung gezeigt. Die Bahnen
sind geschlossen. Dies dient als Test des numerischen Programms zur
Integration der Bewegungsgleichungen.
(2) 2 Planeten : Nun wurde ein 2.,
leichterer Planet auf einer elliptischen, engeren Umlaufbahn
hinzugefügt. Die Bahn dieses Planeten ist erkennbar nicht
geschlossen. Wichtigster Effekt ist eine Rotation der Ellipse, oft als
Perihelion-Verschiebung bezeichnet. In unserem Sonnensystem führt
insbesondere der Einfluss des Jupiter zu einer Perihelion-Verschiebung
des Merkurs. Die leichte Abweichung zwischen Messung und Vorhersage
war bereits um 1900 ein Problem. 1915 konnte Einstein dieses Problem
in seiner allgemeinen Relativitästheorie lösen -- ein erster
wichtiger Erfolg dieser revolutionären Theorie, der auf einem
genauen Verständnis der Newton'schen Theorie aufbaut.
(3) Geschwindigkeit des Zentralgestirns entlang
der x-Achse. Die Geschwindigkeit entlang der Sichtachse kann spektroskopisch
(durch die Doppler-Verschiebung der Wellenlängen) sehr genau gemessen
werden. Eine (mehr oder weniger) periodische Änderung dieser
Geschwindigkeit, wie hier für die obigen Systeme mit einem oder zwei
Planeten gezeigt, wird zum Nachweis von extra-solaren Planeten benutzt.
Aufgrund solcher Messungen geht man mittlerweise davon aus, dass ein
sehr hoher Prozentsatz aller Sterne unserer Milchstrasse (und somit vermutlich
auch in anderen Galaxien) von Planeten umgeben ist.
Simulierter Sternenhaufen mit 9 Körpern
(1) Planare Anfangsbedingungen: Alle
Bahnen liegen in einer Ebene. (Die Drehimpulserhaltung impliziert, dass dies
immer so bleibt, wenn alle Orte und Geschwindigkeiten zu einem Zeitpunkt in
einer Ebene liegen.) Der schwerste Stern
(m=2, schwarz) bildet ein sehr eng gebundenes Doppelsternsystem mit einem
Stern mit m=1 (grün). Dies setzt so viel
kinetische Energie frei, dass das System praktisch "explodiert".
(2) Zoom des inneren Bereichs: Man sieht,
wie die schwarzen Symbole (m=2) einem Satz von grünen Symbolen (m=1)
sehr nahe kommen und ein enges Paar bilden.
(3) Danach habe ich die Körper in allen drei Dimensionen verteilt.
Zunächst habe ich die Anfangsbedingungen der 4 schweren Körper
so gewählt, dass sie ein (über den Zeitraum der Simulation)
stabiles System bilden, dann habe ich die 5 leichten Körper
hinzugefügt. Die 1. Abbildung dieser Serie
zeigt die Bewegung (in der (x,y) Ebene) des schwersten Körpers. Der
zeitliche Abstand zwischen zwei Symbolen ist konstant, d.h. ein grösserer
Abstand bedeutet eine höhere Geschwindigkeit. In der
2. Abbildung sind die drei Körper mit
m=1 ebenfalls abgebildet. Das System bleibt in der Tat gebunden, die Bahnen
sind aber sehr kompliziert.
In der 3. Abbildung sind die 5 leichten
Körper ebenfalls aufgenommen. Wir sehen, dass vier von ihnen rasch
"abdampfen", d.h. entkommen. In einem Vielkörpersystem nähert sich
die mittlere kinetische Energie einer Konstante; das führt dazu, dass
leichte Körper die Fluchtgeschwindigkeit erreichen, wie z.B.
Wasserstoffmoleküle auf der Erde (weshalb unsere Atmosphäre
praktisch keine solche Moleküe enthält).
Die 4. Abbildung zeigt das
Verhältnis von mittlerer kinetischer and
potenzieller Energie, sowie das Verhältnis der Mittelwerte, für das
3-dimensionalen Systems. In der schwarzen und grünen Kurve sind alle 9
Körper berücksichtigt, in der roten und blauen Kurve nur solche mit
negativer Gesamtenergie (die an das System gebunden sind).
Das System aus den 4 schweren Körpern
"virialisiert" recht schnell, d.h. das gezeigte Verhältnis pendelt um
-0.25, wie im zeitlichen Mittel für ein 1/r Potenzial zu erwarten. Das
gemittelte Verhältnis (schwarz, rot) hängt aber stark davon ab, ob
nur gebundene Körper berücksichtigt werden.
Die (spektographisch abschätzbare) kinetische Energie der Sterne
kann deshalb zur Bestimmung der Masse des Systems benutzt werden. Analoge
Untersuchungen grösserer Systeme (Galaxien und Haufen von Galaxien)
zeigen, dass sie mehr unsichtbare, 'dunkle' Materie enthalten als bekannte
'baryonische' Materie, die Sterne oder Gas bildet.
Millenium-Simulation der Galaxienbildung (Ausschnitt mit 1.5
Mio. Teilchen)
Simuliert wurde die Bewegung der Teilchen der Dunklen Materie unter ihrer
wechselseitigen gravitationellen Anziehung. Die Anfangsbedingungen sind aus der
Theorie des inflationären Unversums abgeleitet, aber die weitere
Entwicklung folgt dem Newton'schen Gravitationsgesetz. Da (Haufen von) Galaxien
hauptsächlich aus Dunkler Materie bestehen, sollte die Verteilung der
Dunklen Materie in etwa der Verteilung sichtbarer Galaxien entsprechen. Die
Simulation zeigt die Entstehung eines Galaxienhaufens aus einer anfänglich
fast gleichförmigen Verteilung der Teilchen der Dunklen Materie.
(1) 2.1 108 Jahre nach Urknall
(2) 109 Jahre nach Urknall
(3) 4.7 109 Jahre nach Urknall
(4) Jetzt (1.4 1010 Jahre nach Urknall)
Das mathematische Pendel
(1) Phasendiagram des mathematischen
Pendels. Für kleine maximale Auslenkung θ0
entspricht dies einem harmomischen Oszillator, das Phasendiagramm ist
ein Kreis (bei geeigneter Skalierung der Achsen). Für grosse
Auslenkung weicht das Phasendiagram deutlich von einem Kreis ab, kann
aber immer noch exakt analytisch berechnet werden.
(2) Exakte (numerische) und approximative
(analytische) Ergebnisse für die Periode
(3) Relative Abweichungen der Entwicklungen
für die Periode vom exakten Ergebnis
Störungstheoretische Behandlung für V(x) = k x2/2 +
λ*m*x3/3
(1) Vergleich exakter Lösung mit
Näherung 0. und 1. Ordnung für kleine Zeiten
(2) Abweichung der 1. Näherung von der
exakten Lösung für kleine Zeiten
(3) Abweichung für grosse Zeiten: Die
Differenz sieht aus wie eine Schwebung, d.h. die Periode der exakten
Lösung unterscheidet sich etwas von der der 1. Näherung (die
ihrerseits gleich der der 0. Näherung ist).
(4) Abweichung der 1. Näherung von der
exakten Lösung als Funktion von λ. Man sieht, dass die
Abweichung (zunächst) wie das Quadrat von λ skaliert
(gepunktete Kurven). Die Näherung bricht aber für grosse
Zeiten zusammen, auch für kleine λ.
(5) Vergleich exakter Lösung mit
Näherung 0., 1. und 2. Ordnung für kleine Zeiten.
Offensichtlich ist die exakte Frequenz in 2. Näherung recht gut
approximiert. Eine Abweichung bleibt aber, d.h. auch die
2. Näherung wird bei sehr grossen Zeiten stark von der exakten
Lösung abweichen.
Die exakte Lösung ist jeweils durch
direkte Integration der Bewegungslgleichung mittels der Runge-Kutta
Methode berechnet. Die Näherungslösungen wurden in der
Vorlesung diskutiert.
Störungstheoretische Behandlung für V(x) = k x2/2 +
λ*m*x4/4
(1) Vergleich exakter Lösung mit
Näherungslösung 0. und 1. Ordnung, ohne
Dämpfung
(2) Vergleich exakter Lösung mit
Näherungslösung 0. und 1. Ordnung, mit Dämpfung ;
die rote Kurve schliesst eine zusätzliche Phase ein.
(3) Zeitlicher Abstand zweier aufeinander
folgender Nullstellen der exakten Lösung . Der Abstand geht
asymptotisch gegen den Wert für den linearen Fall, da die
Amplitude immer kleiner wird.
Gedämpfter, angetriebener anharmonischer Oszillator
(Lösung der Duffing-Gleichung)
(1) Differenz zwischen exakter Lösung und
Näherungslösung 0. und 1. Ordnung; die Amplitude der
Lösung beträgt ca. 0.16. Die volle 1. Ordnung
Näherung, einschliesslich modifizerter Phase und cos(3 ω t)
Term, funktioniert offensichtlich am besten.
(2) Differenz zwischen exakter Lösung und
Näherungslösung 0. und 1. Ordnung; die Amplitude der
exakten Lösung beträgt ca. 0.5, d.h. der nichtlineare Term
ist ca. 10 mal wichtiger als in der 1. Abbildung. Die auf
Entwicklung in Fourier-Komponenten beruhende ('modifizierte')
Entwicklung funktioniert noch gut, die direkte Entwicklung in
epsilon hingegen nicht mehr.
(3) Vergleich der exakten maximalen
Amplitude mit der Näherungslösung in modifizierter nullter
Ordnung (nur der cos(ω*t) Term wird
berücksichtigt). Für ω zwischen 1.4 und 1.65
existieren mehrere Lösungen, wobei die mittlere nicht stabil
ist. In diesem Bereich führt ein Frequenzdurchlauf zu
mechanischer Hysterese, d.h. selbst bei grossen Zeiten hängt die
Lösung von den Anfangsbedingungen ab. Bei kleineren Frequenzen
sieht man die Amplitude des cos(3 ω t) Terms, der in der
Näherungslösung nicht berücksichtigt wurde.
(4) Vergleich der exakten maximalen
Amplitude mit der Näherungslösung in modifizierter nullter
Ordnung (nur der cos(ω t) Term wird berücksichtigt).
Für diese stärkere treibende Kraft gibt es
Mehrfachlösungen über einen grösseren Bereich von
ω. Zusätzlich zu Amplituden, die zu Termen proportional to
cos(3 ω t), cos(5 ω t) usw. gehören sieht man bei
ω nahe 1 nun auch eine Amplitude zu einem Term cos(2 ω t).
(5) Existenz von Mehrfachlösungen in
modifizierter 0. Ordnung. Diese treten zwischen den Kurven
auf. Dabei hägt das maximale ω deutlich vom
Däpfungskoeffizienten gamma ab, das minimale ω aber
kaum. Der Bereich wird offenbar für stärkere treibende
Kraft grösser und verschiebt sich zu grösseren Frequenzen.
(6) Vergleich der exakten Lösung und
Näherungslösung 0. und modifizierter 1. Ordnung, wobei
die Entwicklung in Fourier-Komponenten benutzt wurde (0. Ordnung ist
aber nach wie vor nur die Lösung der linearen Gleichung). f ist
hier knapp unter dem Beginn des chaotischen Regimes. Die Amplitude
wird noch recht gut reproduziert, nicht aber der genaue zeitliche
Verlauf.
(7) Vergleich der exakten Lösung und
Näherungslösung 0. und modifizierter 1. Ordnung, wobei
die Entwicklung in Fourier-Komponenten benutzt wurde (0. Ordnung ist
aber nach wie vor nur die Lösung der linearen
Gleichung). Für dieses f tritt bereits chaotisches Verhalten
auf, allerdings für kleinere ω. Aber auch hier
unterscheiden sich die Lösungen für leicht
unterschiedliche Anfangsbedingungen [x(0) = 0 oder 0.1] deutlich
auch bei späten Zeiten. Die Amplitude wird dennoch recht gut
reproduziert, der genaue zeitliche Verlauf allerdings nicht
mehr.
(8) Vergleich der exakten Lösung und
Entwicklungen in t, wobei die Entwicklung in Potenzen von t bis
zu verschiedenen Ordnungen durchgeführt wurde. Der erste
Beitrag O(f2) tritt in der Ordnung t6 auf; da
er mit x(0) multipliziert wird, das hier als 0.1 gewählt wurde,
ist dieser Term klein. Der erste Beitrag O(f3) tritt in
der Ordnung t8 auf. Bereits die O(t4)
Ordnung reproduziert das exakte Ergebnis recht gut für t ≤ 0.6;
dort ist x(t) = 3, d.h. man ist bereits tief im nichtlinearen Bereich.
(9) Vergleich der exakten Lösung und
Entwicklungen in t, wobei die Entwicklung in Potenzen von t bis
zu verschiedenen Ordnungen durchgeführt wurde. Hier wurde x(0)
= 2 gewählt. Der erste Beitrag O(x(0) f2), der in
der Ordnung t6 auftritt, ist deshalb viel grösser
als in der vorigen Abbilding, für x(0) = 0.1. Bereits die
O(t4) Ordnung reproduziert das exakte Ergebnis recht gut
für t ≤ 0.6; dort ist x(t) = 3, d.h. man ist bereits tief im
nichtlinearen Bereich. Die O(t8) Ordnung reproduziert nun
sogar das Verhalten um das erste Maximum; die vorige Abbildung zeigt
aber, dass das nicht immer gilt.
Duffing Oszillator: Übergang zum Chaos
(1) Kleine Kraft (kein Chaos): Bild 1 .
(2) Grosse Kraft (kein echtes Chaos): Bild 2 .
(3) Sensitivität zu den Anfangsbedingungen
Bild 3 .
Alle folgenden Abbildungen in diesem Abschnitt sind nach Abklingen des
Einschwingens erstellt, d.h. für grosse Zeiten.
(4) Kurve im Phasenraum für f = 3, ω =
1.45. Die Bewegung ist periodisch mit Periode 1, d.h. nach einer
Perdiode der treibenden Kraft erreicht das System wieder den selben
Zustand (die selben Werte von x und v). Die Kurve ist
spiegelsymmetrisch um den Ursprung; dies reflektiert die Symmetrie
der Duffing-Gleichung unter x → -x und ω t → ω t +
π.
(5) Kurve im Phasenraum für f = 3, ω
= 1.00. Die Bewegung ist periodisch mit Periode 1, d.h. nach
einer Perdiode der treibenden Kraft erreicht das System wieder den
selben Zustand (die selben Werte von x und v). Die Kurve ist aber
nicht mehr spiegelsymmetrisch um den Ursprung. Offenbar treten hier
Beiträge auf, die mit geradzahligen Vielfachen der Periode der
treibenden Kraft schwingen; diese Terme ändern ihr Vorzeichen
nicht, wenn ω t → ω t + π. S. auch Abb. 4 im
vorigen Abschnitt.
(6) Kurve im Phasenraum für f = 20,
ω = 1.45. Die Bewegung ist periodisch mit Periode 1,
d.h. nach einer Perdiode der treibenden Kraft erreicht das System
wieder den selben Zustand (die selben Werte von x und v). Die
Spiegelsymmetrie um den Ursprung ist offenbar begrochen.
(7) Kurve im Phasenraum für f = 20,
ω = 1.40. Die Bewegung ist periodisch mit Periode 2,
d.h. das System erreicht den selben Zustand (die selben Werte von x
und v) erst nach zwei Perioden der treibenden Kraft
(Periodenverdopplung). Man beachte auch, dass -- im Unterschied zu
abgeschlossenen Systemen -- sich die Phasenraumkurven
überschneiden können, wenn die beiden Paare (x,v) zu
verschiedenen Werten der treibenden Kraft, d.h. verschiedenen
cos(ω t), gehören.
(8) Poincare Verschiebung für f = 20,
als Funktion von ω. Die Poincare Verschiebung ist die Menge der
Punkte x(t), wobei t so gewählt ist, dass die treibende Kraft
eine feste Phase hat, d.h. cos(ω t) hat den selben Wert für
alle abgebildeten Punkte. Man sieht multiple Lösungen für
viele Werte von ω. Für 1.2 ≤ ω ≤ 1.4 sieht man
auch zwei Bereiche mit Periodenverdoppelung (s. auch die vorige Abb.)
Hier springt x(t) zwischen zwei Punkten hin und her, wenn t um eine
Periode der treibenden Kraft vergrössert wird.
(9) Poincare Verschiebung für f = 25,
als Funktion von ω. Hier sehen wir eine Kaskade von
Periodenverdopplungen. Für ω ≤ 1.267 hat die Bahnkurve
die Periode der treibenden Kraft. (Anders als in der vorigen Abbildung
ist hier die Poincare Verschiebung nur für eine Anfangsbedingung
gezeigt.) Danach verdoppelt sich die Periode mehrmals, in immer
kürzeren Abständen von ω. Für ω ≥ 1.288
ist keinerlei Periode mehr sichtbar, das System ist nun chaotisch.
(10) Poincare Verschiebung für f = 25,
als Funktion von ω mit ω ≥ 1.3. Man erkennt zwei
chaotische Regime. (Die vertikalen Linien dazwischen sind vermutlich
eine Folge numerischer Instabilitäten.) Bei ω ≥ 1.39 ist das
System nicht mehr chaotisch, die Periode reduziert sich sukzessive wieder.
(11) Poincare Schnitt für f = 25, ω =
1.2902. Hier ist man im chaotischen Regime. Der Poincare Schnitt
ist die Menge der Punkte im Phasenraum, hier x(t), v(t), bei fester
Phase der treibenden Kraft, d.h. festem cos(ω t). Im
chaotischen Regime bildet der Poincare Schnitt einen "seltsamen
Attraktor" ("strange attractor"), dessen Hausdorff Dimension keine
ganze Zahl ist (d.h. der Attraktor ist ein Fraktal): Der Attraktor
füllt keinen Bereich der Ebene ganz aus, deckt aber mehr ab als
eine Linie. Man beachte auch, dass der ganze Attraktor in einem
relativ kleinen Intervall in x liegt, wobei der Bereich in v
allerdings deutlich grösser ist.
(12) Ausschnitt des Poincare Schnittes für f
= 25, ω = 1.2902. Dies ist ein Ausschnitt der vorigen
Abbildung. Bei grösserer Auflösung sieht man, dass sich
einzelne Linien in mehrere Linien aufspalten. Dies lässt sich
im Prinzip beliebig oft wiederholen, wobei allerdings numerische
Probleme ein maximale Auflösung festlegen.
(13) x(t=100) vs. x(0) für f = 25, ω
= 1.5. Hier ist man nicht mehr im chaotischen Regime. x(0)
springt zwischen mehreren Lösungen hin und her; über
gewisse Bereiche von x(0) bleibt x(t=100) aber konstant.
(14) x(t=100) vs. x(0) für f = 25,
ω = 1.2902. Hier ist man im chaotischen Regime. x(0)
springt wild umher; die Anzahl der Lösungen für x(t=100)
ist nicht begrenzt.
(15) x(t=100) vs. x(0) für f = 25,
ω = 1.2902 und einen kleinen Bereich von x(0). Hier ist
man im chaotischen Regime. x(0) springt selbst in diesem kleinen
Bereich von x(0) wild herum. Die Abbildung ist qualitativ
ähnlich wie die vorige. Diese Skaleninvarianz ist typisch
für chaotische System.